Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 5 \sqrt{s}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{s}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{\sqrt{s}} (5 \sqrt{s})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{1}{\sqrt{s}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{s}}$ par $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 (\frac{1}{\sqrt{s}} \cdot \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}) \sqrt{s}$

Étape 1.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{s}}$ par $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s} \sqrt{s}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $\sqrt{s}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1} \sqrt{s}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.3

Élevez $\sqrt{s}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1} {\sqrt{s}}^{1}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1 + 1}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{2}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{s}}^{2}$ comme $s$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{2}{2}}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{2}{2}}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{1}} \sqrt{s}$

Étape 1.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$

Étape 1.2.4

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{s}}{s}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 \sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$

Étape 1.2.5

Multipliez $\frac{5 \sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$ .

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Étape 1.2.5.1

Associez $\frac{5 \sqrt{s}}{s}$ et $\sqrt{s}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 \sqrt{s} \sqrt{s}}{s}$

Étape 1.2.5.2

Élevez $\sqrt{s}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 ({\sqrt{s}}^{1} \sqrt{s})}{s}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $\sqrt{s}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 ({\sqrt{s}}^{1} {\sqrt{s}}^{1})}{s}$

Étape 1.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {\sqrt{s}}^{1 + 1}}{s}$

Étape 1.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {\sqrt{s}}^{2}}{s}$

Étape 1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{s}}^{2}$ comme $s$ .

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Étape 1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}}{s}$

Étape 1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{s}$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{2}{2}}}{s}$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{2}{2}}}{s}$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{1}}{s}$

Étape 1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s}{s}$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun de $s$ .

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s}{s}$

Étape 1.2.7.2

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{s}} d s = 5 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{s}} d s = \int 5 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{s^{\frac{1}{2}}} d s = \int 5 d t$

Étape 2.2.1.2

Retirez $s^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(s^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d s = \int 5 d t$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(s^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int s^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d s = \int 5 d t$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int s^{\frac{- 1}{2}} d s = \int 5 d t$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int s^{- \frac{1}{2}} d s = \int 5 d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $s^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $s$ est $2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$2 s^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 5 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$2 s^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 5 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$

Étape 3

Résolvez $s$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$ par $2$ .

$\frac{2 s^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 s^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $s^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$s^{\frac{1}{2}} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(s^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$s^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$s^{1} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$s = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$ .

$s = (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$s = \frac{5 t}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$s = \frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$s = \frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Multipliez $\frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.1.1

Multipliez $\frac{5 t}{2}$ par $\frac{5 t}{2}$ .

$s = \frac{5 t (5 t)}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$s = \frac{25 t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{25 (t^{1} t)}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{25 (t^{1} t^{1})}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{25 t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $\frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Multipliez $\frac{5 t}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.3.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{5 t}{2}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K (5 t)}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K (5 t)}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Déplacez $5$ à gauche de $K$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 \cdot K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.5.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Additionnez $\frac{5 t K}{4}$ et $\frac{5 K t}{4}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Déplacez $t$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{5 K t}{4}$ et $\frac{5 K t}{4}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.4

Simplifiez $\frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Étape 3.4.1

Déplacez $\frac{25 t^{2}}{4}$ .

$s = \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{25 t^{2}}{4}$

Étape 3.4.2

Remettez dans l’ordre $\frac{5 K t}{2}$ et $\frac{K^{2}}{4}$ .

$s = \frac{K^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{25 t^{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$s = K + \frac{K t}{2} + \frac{25 t^{2}}{4}$