Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.5

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.6

Simplifiez $- v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Étape 6.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.3.3.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

Étape 6.1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

Étape 6.1.3.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

Étape 6.1.3.4

Simplifiez $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

Étape 6.7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 6.7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 6.7.4

Simplifiez

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Étape 6.7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 6.7.4.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 6.7.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.7.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.7.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 6.7.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.7.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 6.7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 6.7.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Étape 6.7.8

Réécrivez $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ comme $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Étape 6.7.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Étape 6.7.10

Simplifiez

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Étape 6.7.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Étape 6.7.10.2

Multipliez $- (- x e^{- x})$ .

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Étape 6.7.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Étape 6.7.10.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Étape 6.7.10.3

Multipliez $- - e^{- x}$ .

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Étape 6.7.10.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Étape 6.7.10.3.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 6.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 6.8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$