Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (10 - x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 10 - x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $- 1$ dans $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ .

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Étape 4.2

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $10$ par $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

Étape 4.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + K = - 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = - 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 1$ dans $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 1$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

Étape 5.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$