Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\cos^{2} (y)$ à partir de $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ à $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.2

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Étape 3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Étape 3.4

Réécrivez l’équation comme $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Étape 3.5

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\tan (y)$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Étape 3.6

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Étape 3.7

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Étape 3.8

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Étape 3.9

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\tan (y)$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Étape 3.10

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Étape 3.11

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $\frac{π}{4}$ dans $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Étape 5.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $K$ de l’intérieur du sinus.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Simplifiez $\sin (0) + K$ .

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Étape 5.3.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Étape 5.3.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Étape 5.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Étape 5.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Étape 5.6

Résolvez $K$ .

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Étape 5.6.1

Supprimez les parenthèses.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Étape 5.6.2

Supprimez les parenthèses.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Étape 5.6.3

Soustrayez $0.90333911$ de $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Étape 5.7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ vrai.

$Aucune solution$