Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}) d x + (y + 3 x^{3} y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{3}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 5 x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $9 x^{2} y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y + 3 x^{3} y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 3 x^{3} y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3 x^{3} y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Étape 2.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3} y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 9 y^{2} x^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $0$ et $9 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2}$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $9 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $9 x^{2} y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $9 x^{2} y^{2}$ .

$9 x^{2} y^{2} = 9 x^{2} y^{2}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$9 x^{2} y^{2} = 9 x^{2} y^{2}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Étape 5.2

Comme $3 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y^{3} \int x^{2} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{4} d x$

Étape 5.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{4} d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 5.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 5.7.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 5.7.4

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - 5 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 5.7.5

Associez $- 5$ et $\frac{x^{5}}{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{- 5 x^{5}}{5} + C$

Étape 5.7.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 5.7.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5} + C$

Étape 5.7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5 (1)} + C$

Étape 5.7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Étape 5.7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{- x^{5}}{1} + C$

Étape 5.7.6.2.4

Divisez $- x^{5}$ par $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.4

Comme $- x^{5}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 x^{3} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $3 x^{3} y^{2}$ et $0$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{2} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 x^{3} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $y + 3 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 x^{3} y^{2}$ de $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + \frac{y^{2}}{2} + C$