Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Séparez $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Étape 1.4

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Étape 1.4.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.1.1

Déplacez $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

Étape 6.1.1.1.1.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

Étape 6.1.1.1.2

Multipliez $V^{2}$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.2.1

Déplacez $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.2

Multipliez $V$ par $V^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.2.2.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

Étape 6.1.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

Étape 6.1.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $V^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $\frac{V^{3}}{2}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Associez.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Multipliez $V^{3}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V^{3}}$ .

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $V^{3}$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Retirez $V^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 3}$ par rapport à $V$ est $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.2.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{V^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 6.3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 V^{2}, 1, 1$

Étape 6.3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 V^{2}$

Étape 6.3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ par $2 V^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ par $2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 V^{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 V^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3.1.2

Simplifiez $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3.1.4

Simplifiez

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

Étape 6.3.3.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

Étape 6.3.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ .

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

Étape 6.3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ .

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

Étape 6.3.4.2

Factorisez $V^{2}$ à partir de $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ .

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Étape 6.3.4.2.1

Factorisez $V^{2}$ à partir de $2 C V^{2}$ .

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

Étape 6.3.4.2.2

Factorisez $V^{2}$ à partir de $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ .

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

Étape 6.3.4.3

Divisez chaque terme dans $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ par $\ln (| x |) + 2 C$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ par $\ln (| x |) + 2 C$ .

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Étape 6.3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| x |) + 2 C$ .

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Étape 6.3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Étape 6.3.4.3.2.1.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Étape 6.3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Étape 6.3.4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Étape 6.3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Étape 6.3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Étape 6.3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}, - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Étape 8.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Étape 9

Résolvez $\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ pour $y$ .

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Étape 9.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Étape 9.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Étape 10

Indiquez les solutions.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x, y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$