Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Étape 3.3

Développez $\ln (x^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Étape 3.4

Simplifiez $4 \ln (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$