Calcul infinitésimal Exemples

${(x - 1)}^{2} (y d) x + x^{2} (y + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez ${(x - 1)}^{2} y d x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} (y + 1) d y = - {(x - 1)}^{2} y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{1}{x^{2} y} ({(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2} y}$ dans le numérateur.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} y} ({(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{2}} ({(x - 1)}^{2} y) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de ${(x - 1)}^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{2}} (y {(x - 1)}^{2}) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{2}} (y {(x - 1)}^{2}) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} {(x - 1)}^{2} d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 1}{x^{2}}$ et ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- {(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.3.3.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.3.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {u_{1}}^{2} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Étape 4.3.4

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.3.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(u_{2} - 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 4.3.5

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.3.5.1

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Différenciez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 4.3.5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Étape 4.3.6.2

Associez $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2}$ et ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Étape 4.3.6.3

Placez ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ comme $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 4.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Étape 4.3.8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 4.3.8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Étape 4.3.8.3

Retirez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Étape 4.3.8.4

Multipliez les exposants dans ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.8.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Étape 4.3.8.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.8.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.8.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.8.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9

Simplifiez

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Étape 4.3.9.1

Réécrivez ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ comme $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.6

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.7

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.8

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ et $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.9.12.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.9.12.2

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.13

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.14

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.3.9.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.16

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.18

Soustrayez $3$ de $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.19

Factorisez le signe négatif.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.22

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.23

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.9.23.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.9.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.23.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.24

Factorisez le signe négatif.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.27

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.28

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.9.28.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.28.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.9.28.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.28.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.28.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.28.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.29

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.30

Multipliez ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ par $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.31

Soustrayez ${u_{3}}^{- 1}$ de $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.9.32

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ et $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 4.3.11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 4.3.12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 4.3.13

L’intégrale de ${u_{3}}^{- 1}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 4.3.14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 4.3.15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C_{6})$

Étape 4.3.16

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.3.17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${u_{2}}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18

Simplifiez

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Étape 4.3.18.1

Associez les termes opposés dans $- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.3.18.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.1.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.1.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.1.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.18.2.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.18.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.18.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.3

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.18.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.18.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.18.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.2.4.2

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4

Simplifiez

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Étape 4.3.18.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.18.4.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \ln (x^{2})$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - - \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = 1 \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.3

Multipliez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.18.4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.18.4.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.5.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x}$ dans le numérateur.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.5.4

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.18.4.5.5

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{- 1}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.18.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.18.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - - \frac{1}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.18.5.2

Multipliez $- - \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.3.18.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + 1 \frac{1}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.18.5.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{1}{x} + C_{7}$

Étape 4.3.19

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C_{7}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y + \ln (| y |) = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C$