Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $2 - 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) - 2 y}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- y)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$

Étape 1.2.2

Multipliez $2 - 2 y$ par $\frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 - 2 y) (x^{2} + 1)}{2 (1 - y)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun à $2 - 2 y$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 - 2 y) (x^{2} + 1)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Étape 1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Étape 1.2.4.2

Divisez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(2 - 2 y) d y = (x^{2} + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 d y + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$2 y + C_{1} + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} - 2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez

$2 y - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.2.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y + \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$2 y - y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Étape 3.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $\frac{x^{3}}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} = x + K$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x = K$

Étape 3.2.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x - K = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- y^{2}) + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x - 3 K = 0$

Étape 3.3.3

Déplacez $- 3 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 K - 3 x = 0$

Étape 3.3.4

Déplacez $6 y$ .

$- 3 y^{2} - x^{3} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Étape 3.3.5

Remettez dans l’ordre $- 3 y^{2}$ et $- x^{3}$ .

$- x^{3} - 3 y^{2} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = 6$ et $c = - x^{3} - 3 K - 3 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $12$ à partir de $36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.3

Factorisez $12$ à partir de $- 36 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.4

Factorisez $12$ à partir de $- 36 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3) + 12 (- x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)$ comme $2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))$ .

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Étape 3.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.6.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$