Calcul infinitésimal Exemples

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 9 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $8 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 9 y$ par rapport à $y$ est $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Étape 1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $8 x - 9 y$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $9 y$ de $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x (x - 3 y)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Comme $- 3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Étape 2.4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $x - 3 y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Étape 2.4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $8 x - 18 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x - 6 y$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $8 x - 18 y$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x - 6 y$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 x (x - 3 y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2.5

Réécrivez $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ comme $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Étape 4.3.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Étape 4.3.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 4 x$ et $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $3 y$ de $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 6 y$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- x + 3 y$ et $x - 3 y$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (x - 3 y)$ comme $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y (8 x - 9 y)$ par $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.8

Multipliez $2 x (x - 3 y)$ par $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Étape 6.9

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Étape 6.10

Appliquez la propriété distributive.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Étape 6.11

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.1

Déplacez $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Étape 6.11.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 6.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Étape 6.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Étape 6.11.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Étape 6.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Étape 6.13

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Étape 8.2

Comme $8 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $8 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Étape 8.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Étape 8.4

Comme $- 9 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 9 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Étape 8.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 8.6

Simplifiez

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Associez $8$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 8.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.7.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 8.7.4

Associez $- 9$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Étape 8.7.5

Associez $y^{2}$ et $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Étape 8.7.6

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $3$ .

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Étape 8.7.6.1

Factorisez $3$ à partir de $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Étape 8.7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.7.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Étape 8.7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Étape 8.7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Étape 8.7.6.2.4

Divisez $y^{2} (- 3 x^{3})$ par $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $2 x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y x^{4}$ par rapport à $y$ est $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $- 3 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} (- 3 x^{3})$ par rapport à $y$ est $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.4.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $2 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Étape 12.1.2

Ajoutez $6 x^{3} y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $2 x^{4}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $- 6 x^{3} y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Étape 12.1.3.3

Additionnez $- 6 x^{3} y$ et $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Étape 15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$