Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = x^{2} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{x^{2} + K}$