Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (0) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \cos (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $5$ dans $y = - \cos (x) + K$ .

$5 = - \cos (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \cos (0) + K = 5$ .

$- \cos (0) + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 5$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + K = 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 5 + 1$

Étape 4.3.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$K = 6$

Étape 5

Remplacez $K$ par $6$ dans $y = - \cos (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $6$ .

$y = - \cos (x) + 6$