Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 4$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

Étape 5

Comme $u$ est négatif dans la condition initiale $(0, - 4)$ , ne tenez compte que de $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $t$ par $0$ et $u$ par $- 4$ .

$- 4 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 4$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 4$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ comme ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.3.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2.3

Multipliez ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2.4

Multipliez les exposants dans ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.2.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$K^{1} = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez

$K = {(- 4)}^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$K = 16$

Étape 7

Remplacez $K$ par $16$ dans $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $16$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 16}$