Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} y + 2 y + 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2} y$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 x^{2} + 2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{2} + 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 x^{2} + 2$ .

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{2} + 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 x^{2} + 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 x^{3} + 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.2.6

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

Étape 4.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 4.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Étape 5.4

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.4.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 5.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 5.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 5.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 5.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.9

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Étape 5.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Simplifiez $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

Étape 5.11.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

Étape 5.11.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x^{2} y + 2 y + 5$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x^{2} y + 2 y + 5$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 x^{3} + 2 x$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $2 x^{3} + 2 x$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Étape 6.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Étape 6.6.2

Divisez $2 x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 2 x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.2.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x^{2} y + 2 y$ .

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Étape 12.1.2.2.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.2.2.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.2.2.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 12.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.2.2.2.2

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{5}{x^{2} + 1}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Étape 13.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 13.4

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 13.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 13.6

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

Étape 13.7

Simplifiez

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$