Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$y' - y = 1$

Étape 2

Déterminez $y'$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

Étape 2.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 2.3.3.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = e^{x}$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

Étape 4.2

Soustrayez $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$0 + 1 = 1$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 = 1$

Étape 5

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = e^{x} - 1$ est une solution à $y' - y = 1$