Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + x y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{3}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

Étape 1.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Étape 2.2.2

Comme $5 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Étape 2.4

Comme $y^{3} \sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3} \sin (y)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Soustrayez $y$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} x + 2 y$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y^{2} + x y^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2} + x y^{3}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $3 y$ à partir de $- 3 y^{2} x - 3 y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $3 y$ à partir de $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + x y^{3}$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y (- y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} (1 + x y)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun à $- x y - 1$ et $x y + 1$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez $- (x y + 1)$ comme $- 1 (x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Étape 4.3.8

Remplacez $M$ par $y^{2} + x y^{3}$ .

$- \frac{3}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y^{2} + x y^{3}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y^{2} + x y^{3}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + x y^{3}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 6.7.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $5 y^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.2

Associez $5$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.7.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.4

Associez $\frac{1}{y^{2}}$ et $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.5

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 6.7.5.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} \sin (y)$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Étape 6.7.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Étape 8.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Étape 8.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.4

Comme $\frac{1}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.6.2

Associez des termes.

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Étape 11.6.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.6.2.2

Additionnez $- \frac{x}{y^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 11.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{5}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Étape 12.1.1.2

Ajoutez $\frac{x}{y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

Étape 12.1.1.3

Soustrayez $\sin (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- \frac{x}{y^{2}}$ et $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

Étape 12.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.2.1

Ajoutez $\frac{5}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

Étape 12.1.2.2

Ajoutez $\sin (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{5}{y} + \sin (y)$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Étape 13.4

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Étape 13.5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

Étape 13.6

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

Étape 13.7

Simplifiez

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Étape 15.2

Simplifiez $5 \ln (| y |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$