Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sec (y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (2 x \sec (y))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sec (y)} x \sec (y)$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} x \sec (y)$

Étape 1.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (1 \cos (y)) x \sec (y)$

Étape 1.2.4

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) x \sec (y)$

Étape 1.2.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) (x \sec (y))$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (\cos (y) (x \sec (y)))$

Étape 1.2.5.3

Remettez dans l’ordre $\cos (y)$ et $x \sec (y)$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \sec (y) \cos (y))$

Étape 1.2.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\sec (y) \cos (y)))$

Étape 1.2.5.5

Réécrivez $2 \cos (y) x \sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\frac{1}{\cos (y)} \cos (y)))$

Étape 1.2.5.6

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot 1)$

Étape 1.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\sin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\sin (y) = x^{2} + K$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (x^{2} + K)$