Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - x y + 3 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y - x y + 3 y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} - x y + 3 y$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + 3 y$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + y \cdot 3$

Étape 1.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x) + y \cdot 3$

Étape 1.1.5

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{2} - x) + y \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x + 3)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 3$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} - x + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - x + 3 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} - x + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Étape 3.3.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$ comme $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$