Calcul infinitésimal Exemples

$a^{2} d x = x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y = a^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x \sqrt{x^{2} a^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $x^{2} a^{2}$ comme ${(x a)}^{2}$ .

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{{(x a)}^{2}}} a^{2} d x$

Étape 3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$1 d y = \frac{1}{x \cdot x a} a^{2} d x$

Étape 3.2.3

Associez les exposants.

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Étape 3.2.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x a} a^{2} d x$

Étape 3.2.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x^{1} a} a^{2} d x$

Étape 3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 d y = \frac{1}{x^{1 + 1} a} a^{2} d x$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{2} a} a^{2} d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $a$ à partir de $x^{2} a$ .

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} a^{2} d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{x^{2}} a d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $a$ .

$1 d y = \frac{a}{x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , placez $a$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = a \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = a \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = a (- x^{- 1} + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez $a (- x^{- 1} + C_{2})$ comme $a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Étape 4.3.4.2

Associez $a$ et $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = - \frac{a}{x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{a}{x} + K$