Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x - y$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- x + 2 y = 2 x - y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- x + 2 y$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x - y$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} - x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} - x y$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.5

Additionnez $2 y$ et $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x + 3 y$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x y$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Étape 4.3.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- x + y$ et $x - y$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y^{2} - x y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y^{2} - x y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - x y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} - x y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x^{2} - x y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x y$ .

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Étape 6.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.6.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 6.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Étape 8.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Étape 8.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Étape 8.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Étape 8.6

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 11.2.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

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Étape 11.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ et $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - \frac{y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.5

Comme $- \frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.6

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 11.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.10

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.11

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.12

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.16

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.17

Pour écrire $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.19

Multipliez $x^{- 3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.19.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.3.19.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3

Associez des termes.

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Étape 11.5.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.3

Associez $x$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.4

Associez $y$ et $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.7.2

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.9

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.12

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.13

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.14

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.16

Soustrayez $2 y$ de $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.17

Multipliez $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.18

Associez.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.20

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.5.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.21

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.3.21.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 11.5.3.21.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.21.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.21.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.22

Pour écrire $\frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 11.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Étape 12.1.2

Simplifiez $y (y - x)$ .

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Étape 12.1.2.1

Réécrivez.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Étape 12.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Étape 12.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Étape 12.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1.2.4.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Étape 12.1.2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Étape 12.1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Étape 12.1.3.2

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Étape 12.1.3.3

Associez les termes opposés dans $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

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Étape 12.1.3.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Étape 12.1.3.3.2

Additionnez $- y x$ et $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Étape 12.1.3.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $- y x$ et $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Étape 12.1.3.3.4

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Étape 12.1.4

Divisez chaque terme dans $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 12.1.4.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Étape 12.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 12.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Étape 12.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Étape 12.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.4.3.1

Divisez $0$ par $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Étape 15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Étape 15.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Étape 15.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Étape 15.3.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Étape 15.3.3

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Étape 15.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Étape 15.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Étape 15.4

Associez $y$ et $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Étape 15.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 15.6

Associez.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$