Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} d x - y d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $e^{x} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- y d y = - e^{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 2 (- e^{x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{x} - 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e^{x}) + 2 (- K)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$