Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.3.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.3.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Étape 1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Étape 1.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 1.3.3.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.4.2.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.4.3.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.4.3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.4.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.4.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$