Calcul infinitésimal Exemples

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ par ${(1 + x)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ par ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + x)}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de ${(1 + y)}^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + y$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + y$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 1 + x$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1 + y, 1 + x, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 3.1.5

Le facteur pour $1 + y$ est $1 + y$ lui-même.

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ se produit $1$ fois.

Étape 3.1.6

Le facteur pour $1 + x$ est $1 + x$ lui-même.

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ se produit $1$ fois.

Étape 3.1.7

Le plus petit multiple commun de $1 + y, 1 + x$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(1 + y) (1 + x)$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ par $(1 + y) (1 + x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ par $(1 + y) (1 + x)$ .

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1 + y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1 + x}$ dans le numérateur.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.1.2

Factorisez $1 + x$ à partir de $(1 + y) (1 + x)$ .

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.4

Développez $(1 + y) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

Étape 3.2.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Étape 3.2.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.5.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Étape 3.2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

Étape 3.2.3.1.5.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

Étape 3.2.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

Étape 3.2.3.1.7

Multipliez $K$ par $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ .

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $K x$ des deux côtés de l’équation.

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

Étape 3.3.2.4

Associez les termes opposés dans $- 1 - x + 1 - K - K x$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

Étape 3.3.2.4.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y + K y + K y x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $K y x$ .

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

Étape 3.3.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1 + y K$ .

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ .

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ par $- 1 + K + K x$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ par $- 1 + K + K x$ .

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 + K + K x$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - K$ .

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- K x$ .

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + K) - (K x)$ .

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.7

Réécrivez $- (x + K + K x)$ comme $- 1 (x + K + K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

Étape 3.3.4.3.2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $K x$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

Étape 3.3.4.3.2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 - K) - (- K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Étape 3.3.4.3.2.13

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Étape 3.3.4.3.2.14

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$