Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Étape 1.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Étape 1.5

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$2 y = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $y$ .

$\frac{2 y + 0}{y}$

Étape 4.3.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{2 y}{y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{y}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 d x}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} + y^{2} + x$ par $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $y$ par $e^{2 x}$ .

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = y e^{2 x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $e^{2 x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $e^{2 x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $\frac{e^{2 x}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{e^{2 x}}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.3

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 11.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.9

Associez $2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.10

Associez $\frac{2 y^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.3.11.2

Divisez $y^{2} e^{2 x}$ par $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 11.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $y^{2} e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $y^{2} e^{2 x}$ de $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.5

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Étape 13.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.5.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.6

Comme $\frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.7

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Étape 13.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.7.3

Multipliez $\int e^{2 x} (x) d x$ par $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.9

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Étape 13.9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.9.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.11

Supprimez les parenthèses.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.12

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 13.12.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 13.12.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 13.12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.13

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.15

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Étape 13.15.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.15.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.16

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

Étape 13.17

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 13.18

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Étape 13.18.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 13.18.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 13.19

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Étape 13.20

Supprimez les parenthèses.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Étape 13.21

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.21.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 13.21.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 13.21.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.21.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.21.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.21.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 13.22

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 13.23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 13.24

Simplifiez

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Étape 13.24.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.24.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.25

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 13.26

Simplifiez

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 13.27

Simplifiez

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Étape 13.27.1

Additionnez $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ et $\frac{x e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 13.27.2

Additionnez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ et $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 13.27.3

Pour écrire $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Étape 13.27.4

Associez $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.27.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.27.6

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.27.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Étape 13.27.8

Associez $- 4$ et $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Étape 13.27.9

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 13.27.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

Étape 13.27.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.27.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

Étape 13.27.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

Étape 13.27.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

Étape 13.27.9.2.4

Divisez $- e^{u_{2}}$ par $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

Étape 13.27.10

Soustrayez $e^{u_{2}}$ de $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

Étape 13.27.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 13.27.11.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

Étape 13.27.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.27.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Étape 13.27.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Étape 13.27.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

Étape 13.27.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

Étape 13.27.12

Additionnez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ et $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Étape 13.28

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{e^{2 x}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

Étape 15.1.4

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$