Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ par $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d x}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $3 y$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.4

Factorisez $x$ à partir de $\frac{- 2 x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $\frac{- 2}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (y) d y}$ , où $P (y) = \frac{- 2}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 2}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (y)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$y^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{y^{2}}$ et $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{2}{y}$ et $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{2 x}{y}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Étape 3.3.4

Associez.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

Étape 3.3.5

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

Étape 3.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

Étape 3.3.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Étape 7.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Étape 7.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

Étape 7.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Étape 7.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Étape 7.6.2

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Étape 7.6.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Étape 7.6.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

Étape 7.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Étape 7.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1.1

Associez $y^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Étape 7.8.1.2

Placez $y^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Étape 7.8.2

Simplifiez

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

Étape 7.8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 7.8.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 7.8.3.3

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 8

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Soustrayez $3 \ln (| y |)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $\frac{1}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

Étape 8.1.3

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Étape 8.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.4.1

Associez $\frac{1}{y^{2}}$ et $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Étape 8.1.4.2

Simplifiez $- 3 \ln (| y |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Ajoutez $\ln ({| y |}^{3})$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

Étape 8.2.2

Ajoutez $\frac{1}{y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

Étape 8.2.3

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.2

Déplacez $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

Étape 8.4.2.1.3.3

Remettez dans l’ordre $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ et $C y^{2}$ .

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$