Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x} y$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $x e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x e^{x} y$ par rapport à $y$ est $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Étape 1.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $x e^{x} + e^{x}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Étape 2.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x e^{x} + e^{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x e^{x} + 2$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(x e^{x} + 2) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.7

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.3.8

Additionnez $x e^{x} + e^{x}$ et $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 8.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Étape 9.1.2.3

Associez les termes opposés dans $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Soustrayez $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Étape 9.1.2.3.2

Additionnez $1 + y e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Étape 9.1.2.3.3

Soustrayez $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Étape 9.1.2.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$