Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = y - x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y = - x$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - y = - x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Étape 1.4.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = - 1$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = - 1$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = - 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - \frac{1}{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = - (\ln (| x |) + C)$

Étape 7.3

Simplifiez

$\frac{1}{x} y = - \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (| x |) + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(- \ln (| x |) + C) x$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \ln (| x |) x + C x$

Étape 8.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (| x |) x + C x$ .

$y = - x \ln (| x |) + C x$

Étape 8.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $- x \ln (| x |)$ et $C x$ .

$y = C x - x \ln (| x |)$