Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ par $\cos^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ par $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.1.4

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Étape 1.1.3.1.6

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.1.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \sec^{2} (x)$

Étape 1.1.3.1.8

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$

Étape 1.2

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + 3 \sec^{2} (x)$

Étape 1.2.2

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $3 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$

Étape 1.2.3

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) (y + 3)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y + 3$ à partir de $\sec^{2} (x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 3$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\tan (x) + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\tan (x) + C} = | y + 3 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$ .

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{\tan (x) + C}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\tan (x) + C} - 3$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\tan (x) + C}$ comme $e^{\tan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\tan (x)} e^{C} - 3$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\tan (x)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\tan (x)} - 3$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\tan (x)} - 3$