Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2 x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$- 2 x + 2 y = 2 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x + 2 y$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y^{2} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $4 x - 2 y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $2 x - y$ et $y - 2 x$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (- 2 x + y)$ comme $- 1 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Étape 4.3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Étape 4.3.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Étape 4.3.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.6

Remplacez $M$ par $y^{2} - 2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y^{2} - 2 x y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y^{2} - 2 x y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 2 x y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 8.2

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 8.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.5.1

Réécrivez $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ comme $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

Étape 8.5.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- \frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{y}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.3.5

Associez $\frac{- 2}{y}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{y - 2 x}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- 2 x - y + 2 x$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Étape 13

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Étape 13.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$