Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 3 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} - 3 y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 y$

Étape 1.4

Soustrayez $6 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$- 6 y = 2 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 6 y = 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y$ .

$\frac{- 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$\frac{- 6 y - (2 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 x y$ .

$\frac{- 6 y - (2 y)}{2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 6 y - 1 \cdot 2 y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 6 y$ .

$\frac{y \cdot - 6 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 6 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 6 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 6 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y (- 6 - 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2$ de $- 6$ .

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8}{2 x}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{x}$

Étape 4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 4$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} - 3 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} - 3 y^{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{2} - 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 x y d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{2} - 3 y^{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + 2 x y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 x y$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 6.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + 2 y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.5

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + y \frac{2}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Associez $y$ et $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + \frac{y \cdot 2}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.7

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + \frac{2 y}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x^{3}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{2 y}{x^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{2}{x^{3}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{2}{x^{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3}} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $\frac{2}{x^{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $\frac{2}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{x^{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3} \cdot 2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x^{3}} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $2$ par $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x^{3}} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x^{3}} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.5

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$y^{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y^{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$y^{2} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y^{2} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y^{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$y^{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y^{2} \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.5.2.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.5.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y^{2}}{x^{4}} - \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y^{2} - (x^{2} - 3 y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y^{2} - x^{2} - (- 3 y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y^{2} - x^{2} + 3 y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- 3 y^{2} - x^{2} + 3 y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- 3 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{1}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x^{2}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.3

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 13.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 13.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 13.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Étape 13.6

Réécrivez $- x^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x} + C$