Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Étape 7.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Étape 7.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Étape 7.6

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Étape 7.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.7.1

Réécrivez $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ comme $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Étape 7.7.2

Simplifiez

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Étape 7.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Étape 7.7.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $- \cos (x)$ par $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.3

Pour écrire $- \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.4

Associez $- \cos (x)$ et $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x) x^{2}$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Étape 8.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

Étape 8.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Étape 8.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.13.1

Réécrivez $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ comme $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Étape 8.3.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

Étape 8.3.13.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$