Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{3 y - 4 x}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{3 y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{3}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 3}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{3}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{3 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

Étape 3.4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

Étape 3.4.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

Étape 3.5

Multipliez $- 4 x$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 7.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7.3.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 7.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

Étape 7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 7.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.5.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 7.5.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 7.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 7.5.3

Simplifiez

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Étape 7.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.5.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 7.5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Étape 7.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Soustrayez $\frac{2}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Ajoutez $\frac{2}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 x + C x^{3}$

Étape 8.4.2.1.3

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + 2 x$