Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $2 x (1 + e^{y}) d x$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $e^{y} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 + e^{y}}$ et $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $1 + e^{y}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $1 + e^{y}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $1 + e^{y}$ à partir de $x (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{2}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Alors $d u_{1} = e^{y} d y$ , donc $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 4.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Étape 4.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{y}$ .

$e^{y}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$