Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Étape 2.5

Factorisez $e^{r x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Étape 2.5.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Étape 2.5.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Étape 2.5.4

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Étape 2.5.5

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Étape 2.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Étape 3

Résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $r^{2} - 2 r - 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Étape 3.5

Définissez $r - 4$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $r - 4$ égal à $0$ .

$r - 4 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 4$

Étape 3.6

Définissez $r + 2$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Définissez $r + 2$ égal à $0$ .

$r + 2 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 2$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r - 4) (r + 2) = 0$ vraie.

$r = 4, - 2$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$