Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.2

Associez.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3} x}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (x)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Étape 1.4.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Étape 3.3

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$