Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x \sqrt{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 x \sqrt{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.4

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$

Étape 1.2.5

Multipliez $\frac{4 \sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$ .

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Étape 1.2.5.1

Associez $x$ et $\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Étape 1.2.5.2

Associez $\frac{x (4 \sqrt{y})}{y}$ et $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Étape 1.2.5.4

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Étape 1.2.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Étape 1.2.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Étape 1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Étape 1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{1}}{y}$

Étape 1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y}{y}$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y}{y}$

Étape 1.2.7.2

Divisez $x \cdot 4$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 4$

Étape 1.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 4 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.1.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} (x^{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (x^{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (x^{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Associez $\frac{K}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Additionnez $\frac{x^{2} K}{2}$ et $\frac{K x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $K$ .

$y = x^{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{K x^{2}}{2}$ et $\frac{K x^{2}}{2}$ .

$y = x^{4} + 2 \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{4} + 2 \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = x^{4} + K x^{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = x^{4} + K x^{2} + K$