Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + 1) d y + y^{2} d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $y^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$(2 x + 1) d y = - y^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (y^{2})} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ .

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Étape 5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| 2 x + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - (\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez l’équation comme $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$

Étape 5.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C y = - 1$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $C y$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C = - 1$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Étape 5.4.3

Réécrivez $- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ comme $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Étape 5.4.4

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ par $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ par $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.4.2.1

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 5.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 5.4.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C}$

Étape 5.4.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)}$

Étape 5.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Étape 5.4.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.3.5.1

Réécrivez $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ comme $- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Étape 5.4.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Étape 5.4.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Étape 5.4.4.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$