Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 + y \tan (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = 3$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = 3$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = 3$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- 1 \tan (x)$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec^{- 1} (x)$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Étape 2.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 2.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Étape 2.9

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez les parenthèses.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.2.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.2.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.2.1.5

Annulez les facteurs communs.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) \cdot 3$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = 3 \cdot \cos (x)$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = 3 \cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = 3 \cos (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = 3 \cos (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int 3 \cos (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\cos (x) y = \int 3 \cos (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (x) y = 3 \int \cos (x) d x$

Étape 7.2

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\cos (x) y = 3 (\sin (x) + C)$

Étape 7.3

Simplifiez

$\cos (x) y = 3 \sin (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\cos (x) y = 3 \sin (x) + C$ par $\cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\cos (x) y = 3 \sin (x) + C$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$y = \frac{3}{1} \tan (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.3

Divisez $3$ par $1$ .

$y = 3 \tan (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.4

Séparez les fractions.

$y = 3 \tan (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$y = 3 \tan (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Étape 8.3.1.6

Divisez $C$ par $1$ .

$y = 3 \tan (x) + C \sec (x)$