Calcul infinitésimal Exemples

$4 x - 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ par $- 2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y \frac{d y}{d x}}{- 2 y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y \frac{d y}{d x}}{- 2 y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 (y)}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 y}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$