Calcul infinitésimal Exemples

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ comme $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Étape 6.2.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Étape 6.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Étape 6.2.4

Multipliez $C$ par $1$ .

$C - 1 = 1$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 1 + 1$

Étape 6.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$C = 2$

Étape 7

Remplacez $C$ par $2$ dans $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $2$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$