Calcul infinitésimal Exemples

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$8 y d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 8 y d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int y d y = \int x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ par $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour écrire $\frac{K}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{K}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

Étape 3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

Étape 3.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{2} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

Étape 3.3.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Étape 3.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3.8

Associez.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.3.9

Multipliez $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ par $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.3.10

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.11.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.11.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 3.3.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3.11.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 3.3.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.13.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

Étape 3.3.13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$