Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 1.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

Étape 1.1.3

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

Étape 1.1.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Étape 1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.1

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Étape 1.1.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

Étape 1.1.5.3

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

Étape 1.1.6

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ .

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Étape 1.1.6.1

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $x \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

Étape 1.1.6.2

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $- 9 \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

Étape 1.1.6.3

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\csc (y)$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ comme $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 9 x}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (- 9 x)$ comme $- (- 9 x)$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.6

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.8

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

Étape 3.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$