Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2 x}{y} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

Étape 3.6.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{- 1}{x}$ et $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Étape 5.3

Soustrayez $\ln (x^{2})$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Étape 5.4.2.2

Divisez $\ln (| y |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

Étape 5.4.3.1.4

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

Étape 5.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

Étape 5.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

Étape 5.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

Étape 5.8

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Étape 5.9

Résolvez $y$ .

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Étape 5.9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

Étape 5.9.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Étape 5.9.3

Simplifiez

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Étape 5.9.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Étape 5.9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{- C} x^{2}$

Étape 5.9.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{- C}$

Étape 5.9.4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm x^{2} C$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C x^{2}$