Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{x}{y} - x y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

Étape 1.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

Étape 1.2.4

Associez $- y$ et $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

Étape 1.2.6.2

Réécrivez $y \cdot y$ comme $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

Étape 1.2.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez $x$ et $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $(1 + y) (1 - y)$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $(1 + y) (1 - y)$ à partir de $x ((1 + y) (1 - y))$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = (1 + y) (1 - y)$ . Alors $d u = - 2 y d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = (1 + y) (1 - y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = 1 + y$ et $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + y)$ comme $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.2.1.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.2.1.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.11

Multipliez $1 - y$ par $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Étape 2.2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Étape 2.2.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.1.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Étape 2.2.1.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- y + 0 - y$

Étape 2.2.1.1.4.2.3

Additionnez $- y$ et $0$ .

$- y - y$

Étape 2.2.1.1.4.2.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Développez $(1 + y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Associez $\ln (| 1 - y^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.5

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.5.2

Multipliez $\ln (| 1 - y^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ .

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.4.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ comme $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.4.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

Étape 3.5.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- x^{2} + C}$ comme $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$