Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 15 x^{2} = 20$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $15 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 20 + 15 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (20 + 15 x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 20 + 15 x^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 20 + 15 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 20 d x + \int 15 x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + \int 15 x^{2} d x$

Étape 2.3.3

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + 15 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 20 x + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $15$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{15}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 20 x + \frac{5}{1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$y + C_{1} = 20 x + 5 x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 5 x^{3} + 20 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 5 x^{3} + 20 x + K$