Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} - 20 t^{4} e^{- y} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $20 t^{4} e^{- y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} = 20 t^{4} e^{- y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (20 t^{4} e^{- y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 \frac{1}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Étape 1.3.2

Associez $20$ et $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $t^{4} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 t^{4}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 20 t^{4} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 20 t^{4} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 20 \int t^{4} d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$ comme $20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $20$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{20}{5} t^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5} t^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)} t^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} t^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 t^{5} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = 4 t^{5} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (4 t^{5} + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (4 t^{5} + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (4 t^{5} + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (4 t^{5} + K)$