Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 1.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \csc^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ à $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \cot (x) + K = \tan (y)$ .

$- \cot (x) + K = \tan (y)$

Étape 3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \cot (x) = \tan (y) - K$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- \cot (x) = \tan (y) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- \cot (x) = \tan (y) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \cot (x)}{- 1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cot (x)}{1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $\cot (x)$ par $1$ .

$\cot (x) = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\tan (y)}{- 1}$ .

$\cot (x) = - 1 \cdot \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \tan (y)$ comme $- \tan (y)$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{K}{1}$

Étape 3.3.3.1.4

Divisez $K$ par $1$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + K$

Étape 3.4

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- \tan (y) + K)$

Étape 3.5

Réécrivez l’équation comme $arccot (- \tan (y) + K) = x$ .

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Étape 3.6

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Étape 3.7

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Étape 3.8

Divisez chaque terme dans $- \tan (y) = \cot (x) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.8.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (y) = \cot (x) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.2.2

Divisez $\tan (y)$ par $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \cot (x)$ comme $- \cot (x)$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Étape 3.8.3.1.4

Divisez $K$ par $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Étape 3.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

Étape 3.10

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Étape 3.11

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Étape 3.12

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Étape 3.13

Divisez chaque terme dans $- \tan (y) = \cot (x) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.13.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (y) = \cot (x) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.13.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.2.2

Divisez $\tan (y)$ par $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \cot (x)$ comme $- \cot (x)$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Étape 3.13.3.1.4

Divisez $K$ par $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Étape 3.14

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$