Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $1 + \sqrt{y}$ .

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + \sqrt{y}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = 1 + \sqrt{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(1 + \sqrt{y}) d y = (1 + \sqrt{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 + \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} + \int y^{\frac{1}{2}} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$y + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + K$