Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

Étape 1.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Étape 3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

Étape 3.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 3.3.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

Étape 3.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

Étape 3.3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Étape 3.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Étape 3.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Simplifiez

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Étape 7.6.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Soustrayez $\ln (| x |)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

Étape 8.1.3

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Étape 8.1.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Ajoutez $\ln (| x |)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

Étape 8.2.2

Ajoutez $\frac{1}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

Étape 8.2.3

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

Étape 8.4.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.2.1.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| x |) x + 1 + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

Étape 8.4.2.1.3.2

Déplacez $1$ .

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

Étape 8.4.2.1.3.3

Remettez dans l’ordre $x \ln (| x |)$ et $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$