Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} + x y^{2} - y) d x + (y^{3} + x^{2} y - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + x y^{2} - y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x y^{2} - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{3} + x^{2} y - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y - x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + x^{2} y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $0$ et $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 1$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y - 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y - 1$ .

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + x y^{2} - y d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

Étape 5.3

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} \int x d x + \int - y d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + C$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{4} x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.5

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.6

Associez $\frac{2 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.3.7.2

Divisez $x^{2} y$ par $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x^{2} y - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + x^{2} y - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $0$ et $x^{2} y$ .

$x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y - x = y^{3} + x^{2} y - x$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - x = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y$

Étape 9.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + 0 + x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $y^{3} - x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + x$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{y^{4}}{4} + C$